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EINFACHE BERECHNUNGEN FÜR HOLD’EM SPIELER — TEIL III / von: Lou Krieger / Teil 1 - Teil 2 |
Dies ist die dritte und letzte Lektion, die sich mit der Mathematik des Hold’em befasst. In den ersten zwei Artikeln haben wir gelernt, wie man sowohl die Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Zweier-Karten Kombinationen vor dem Flop berechnet, als auch die Wahrscheinlichkeit, kein Ass-Paar oder anderes Paar ausgeteilt zu bekommen, errechnet. Auch sollte es jetzt kein Geheimnis mehr für Sie sein, wie man die Anzahl der möglichen Flops insgesamt errechnet und wie hoch die Chancen sind, dass man beim Flop einen Drilling oder besser erzielt, wenn man ein Paar in der Hand hält.
Prozente in Wahrscheinlichkeiten, und Wahrscheinlichkeiten in Prozente umzuwandeln, sollte für Sie jetzt ein Kinderspiel sein, — und die folgenden Probleme: Angenommen, Sie haben ein Paar Damen und Sie wissen, dass ich nur mit Assen, Königen oder A-K erhöhe. Wenn ich erhöhen würde, wer läge von uns beiden dann vorn?
Mit diesen mathematischen Grundlagen für Hold’em, wollen wir uns jetzt wichtigeren Berechnungen widmen. Beim Hold'em passiert es einem regelmäßig, dass einem nach dem Flop nur noch eine Karte bis zum Flush oder Straight fehlt. Wenn man weiß, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass man einer dieser Hände nicht bekommt, und das dann mit dem Geld vergleicht, das im Pott ist, dann hat man alle nötigen Informationen, um zu entscheiden, ob es besser ist, weiter zu spielen oder aufzugeben.
Die Wahrscheinlichkeiten des zu berechnen, ist leicht. Zählen oder schätzen Sie den Inhalt des Potts am Ende der Hand und vergleichen Sie dies dann mit Ihrer erwarteten Investition. Wenn die Wahrscheinlichkeit des Kosten-Nutzen Verhältnisses die Wahrscheinlichkeit, die Hand zu machen, übersteigt, dann ist das das Beste. Ansonsten, haben Sie eher schlechte Chancen.
(10.Übung Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, keinen Flush zu machen, wenn Sie Ihre Pocket Karten gleichfarbig sind, und zwei Karten Ihrer Farbe im Flop erscheinen.)
Versuchen Sie es selbst zu lösen. Sollten Sie jedoch Schwierigkeiten haben, dann lesen Sie einfach weiter. Angenommen, Ihre Pocket Karten sind A♥ J♥ und der Flop ist 8♥ 7♣ 3♥. Da es in jedem Deck von jeder Farbe dreizehn gibt, und Sie vier davon haben, können nur noch neun von den insgesamt verbleibenden 47 Karten Herz sein. (Ganz recht, es gibt drei Asse und drei Buben, die Ihnen ebenfalls zur besten Hand verhelfen könnten, aber in dieser Übung sind wir nur daran interessiert, die Chance für einen Flush zu errechnen. )
Wie bei den Berechnungen des letzten Themas, bei dem es darum ging, die Wahrscheinlichkeit beim Flop einen Drilling zu erzielen, wenn man ein Paar in der Hand hat, ist es auch in diesem Fall wieder leichter, wenn man zuerst die Möglichkeiten errechnet, mit der man den Flush nicht erzielt, und dies dann von der Gesamtmenge der Möglichkeiten zu subtrahieren. Das Ergebnis ist dann die Antwort auf die oben stehende Frage.
Beim Flop gibt es 47 unbekannte Karten. Neun von Ihnen sind Herzkarten, so dass noch 38 Karten verbleiben, die Ihnen nicht weiterhelfen. Wenn Sie beim Turn kein Flush erzielen, dann gibt es nur noch 46 unbekannte Karten. Da neun davon Herzkarten sind, verbleiben 37 Karten, die Sie nicht brauchen. Nun müssen die einzelnen Faktoren miteinander mulitpliziert werden. Wir haben das schon zuvor gemacht, so dass und das leicht fallen müsste. Multiplizieren Sie den Zähler des ersten Faktors mit dem Nenner des zweiten Faktors, und machen Sie dann das gleiche auch mit den Nennern. Das Ergebnis müsste 38/47 x 37/46 gleich 1406/2162 sein.
Wenn Sie die Zahl der verpassten Flushes (1406) von der Anzahl der möglichen Ereignisse abziehen(2162), dann bleiben Ihnen 756 Kombinationen, die in einem Flush resultieren könnten. Teilen Sie nun 756 durch 2,162, und Sie erhalten die Antwort 0.35 (oder 35 Prozent). Wenn Ihnen nach dem Flop noch eine Karte bis zum Flush fehlt, dann werden Sie den Flush in 35 Prozent aller Fälle machen.
Wollen Sie diese Prozentzahlen in Wahrscheinlichkeiten umrechnen? Dann gehen Sie folgendermassen vor. Ziehen Sie 35 Prozent von 100 Prozent ab, und teilen Sie das Ergebnis durch 35 Prozent (100 - 35 = 65; 65 / 35 = 1.86). Die Wahrscheinlichkeit, dass Sie keinen Flush haben werden stehen 1.86 zu 1. Wenn der Pott ungefähr 2 zu 1 oder mehr Ihrer Investition auszahlen würde, dann ist es auf lange Sicht ein profitabler Zug — egal, ob Sie den Flush jetzt sofort bekommen. Selbst wenn Sie ihn in dieser Situation auch in den nächsten sieben und zwanzig Malen nicht erzielen würden, wären unter diesen Umständen die Aussichten, einen Flush zu bekommen, immer noch sehr hoch.
Da Sie aber keine Kontrolle über die Karten haben, die ausgeteilt werden, bleibt Ihnen nichts anderes übrig, als sich auf die Spiele zu konzentrieren, die gute Aussichten haben. Darum geht es, wenn man die besten Karten hat. Das ist auch der Grund, warum Spieler niemals über einen längeren Zeitraum hinweg, im Craps, Roulette, Baccara und ähnlichen Spielen, mit Ausnahme von Black Jack gewinnen können.
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(11.Exercise Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit keinen Straight zu machen, wenn Sie beim Flop einen offenen Straight Draw erzielt haben?)
Diese Rechenaufgabe ist sehr ähnlich wie die zuvor beim Flush. Falls Sie Schwierigkeiten damit haben sollten, dann sollten Sie sich nochmals alle Artikel dieser Serie aufmerksam durchlesen. Wenn Sie jedoch diese Aufgabe problemlos lösen können, dann sind Sie auf dem besten Weg, das Kapitel Hold’em Mathematik mit Bravur zu meistern, und damit Ihren Gegnern, die diese Berechnungen weder verstehen noch anwenden können, um einiges voraus. Aber für den Fall, dass Sie doch Schwierigkeiten mit der Berechnung haben sollten, - hier der Lösungsweg.
Wenn Sie 9♦ 8♦,in der Hand halten und der Flop A♣ 7♠ 6♥, zeigt, dann haben Sie einen offenen Straight Draw erzielt. Entweder eine Zehn oder eine Fünf könnte Ihren Straight vervollständigen. Da es von jeder dieser Zahlen vier Stück gibt, gibt es folglich insgesamt 8 Möglichkeiten, um Ihre Hand zu einem Straight zu vervollständigen.
Erneut müssen wir die einzelnen Brüche multiplizieren. In diesem Fall würden Sie Ihr Straight in 39 Fällen von 47 beim Turn verpassen, und in 38 von 46 Fällen beim River. Multiplizieren Sie danach 39/47 x 38/46, und Sie werden danach feststellen, dass Sie Ihren Straight in 1482 von 2162 Fällen verpassen würden. Indem Sie die Zahl, der verpassten Möglichkeiten von der Menge der gesamten Möglichkeiten abziehen (2162 - 1482), werden Sie zu dem Ergebnis kommen, dass Sie in 680 von 2162 Malen beim Flop einen offenen Straight Draw haben werden.
Wenn Sie dann 2162 durch 680 teilen, gelangen Sie zu dem Ergebnis, dass Sie in 31.5 Prozent der Fälle, was einem Verhältnis von 2.17 zu 1 entspricht, dass Sie das Straight nicht machen.
(12.Übung Wie hoch sind die Chancen, dass Sie beim Flop mindestens ein Paar bekommen, wenn Ihre Starthand Ass-King war?)
Sollten Sie Ihrem gesunden Menschenverstand folgen und mit A-K erhöhen oder ist es besser, wenn Sie unauffällig mitgehen und erst aggressiv spielen, sobald der Flop sich als günstig erweist? Dies Frage ist ein heiss diskutiertes strategisches Dilemma, das der Pokertheoretiker Mike Caro ausgelöst hatte, als er vorschlug, dass es bei einem Big Slick besser wäre, mitzugehen, anstatt stark zu erhöhen. Bevor Sie Sie sich zu diesem Thema eine Meinung bilden können, sollten Sie zunächst erstmal wissen, wie oft man mit diesen Karten beim Flop ein Paar bekommen kann. Auch wenn Big Slick eine starke drawing Hand ist, muss sie sich dennoch verbessern, wenn sie einem mehr bieten will, als blosses Bluffpotential.
Wenn Sie in der Lage waren, alle Aufgaben in dieser Serie von Artikeln zu lösen, dann werden Sie wahrscheinlich auch folgende Aufgabe lösen können, ohne sich den Lösungsweg anschauen zu müssen. Erneut gehen wir wie gewohnt vor. Zunächst wird bestimmt, wie hoch die Anzahl ist, die Hand zu verpassen — subtrahieren sie dann diese Zahl von der Gesamtanzahl der Möglichkeiten, und schon haben Sie die Antwort.
Da Sie nur ein Ass und einen König in der Hand halten, gibt es unter den insgesamt fünfzig verbleibenden Karten nur noch sechs weitere davon, also folglich 44 Karten, die Ihnen nicht mehr weiterhelfen können. In vierundvierzig von fünfzig Fällen werden Sie mit der ersten Karte im Flop kein Ass oder König erzielen. Wenn bei der ersten Karte nichts für Sie dabei war, dann verbleiben noch 6 gute Karten, weshalb folglich 43 der verbleibenden 49 Karten Sie nicht weiterbringen können. Wenn sowohl die erste als auch die zweite Karte kein Ass oder König gebracht hat, dann verbleiben weiterhin sechs gute Karten, und folglich 42 schlechte Karten von insgesamt 48 unbekannten Karten.
Wenn Sie dann 44/50 x 43/49 x 42/48 multiplizieren, dann erhalten Sie 79464/117600. Danach müssen Sie die 79464 Wege, in denen Sie zumindest ein Ass oder König verpassen können, von 117600, der Menge aller möglichen Kombinationen, abziehen. Mit der Teilung von 117600 durch 38136, kommen Sie zu dem Ergebnis, dass Sie in 32,4 Prozent der Fälle ein Ass oder König bekommen könnten — das macht eine Wahrscheinlichkeit von 2,1 zu 1, dass man seine Hand von A-K beim Flop nicht verbessern wird. Auch wenn dieses Ergebnis keine Antwort darauf gibt, ob es strategisch besser ist, mitzugehen oder zu erhöhen, so haben Sie damit zumindest einige Fakten zur Hand, wenn Sie auf dieses Problem stossen.
Da Sie bei dieser Unterrichtsreihe fleissig alle Aufgaben bearbeitet haben, möchte ich Ihnen eine kleine Belohnung für Ihre Mühen geben — eine Tabelle mit Wahrscheinlichkeiten, eine Hand zu machen, sie nicht zu machen, für Situationen, bei 15 Outs angefangen, wo Sie ein Odd-ons Favorit wären bis zu einem einzigen Out, was ziemlich aussichtslos für Sie wäre.
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Outs
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Chance of Success |
Odds Against Success. |
15 |
54.1% |
0.8-to-1 |
14 |
51.2% |
1.0-to-1 |
13 |
48.1% |
1.1-to-1 |
12 |
45.0% |
1.2-to-1 |
11 |
41.7% |
1.4-to-1 |
10 |
38.4% |
1.6-to-1 |
9 |
35.0% |
1.9-to-1 |
8 |
31.5% |
2.2-to-1 |
7 |
27.8% |
2.6-to-1 |
6 |
24.1% |
3.1-to-1 |
5 |
20.3% |
3.9-to-1 |
4 |
16.5% |
5.1-to-1 |
3 |
12.5% |
7.0-to-1 |
2 |
8.4% |
10.9-to-1 |
1 |
4.3% |
22.3-to-1 |
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There’s a lot of data in this chart, but I wouldn’t bother memorizing most of it. After all, how often are you going to stick around when you hold a hand with just three outs? Nevertheless, you should memorize the percentages and odds for 9 outs (flush draw); 8 outs (open-ended straight draw); and four outs (two-pair draw). Even if you can’t compute the others in the heat of battle, you can interpolate. Each additional out adds between 3 and 4 percentage points to your chances. If you have 12 outs and know that a 9-out hand has a 35 percent chance of improving, you won’t be too far afield if you assume your chances of winning are between 43 and 47 percent.
Some of this material may have been difficult to absorb, and if that's the case, keep studying until you understand how - and why - these calculations are performed. Even if you've been able to work through these problems, much of it will be forgotten unless you reread these articles periodically. Still, if you've come this far you certainly know more about this subject than most of your opponents. All you need to do now is put it into play. The results should soon be apparent in your win rate.
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